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Les boîtes à outils de Diffpack :
avec un maillage hautement non structuré.
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Cette
boîte à outils est
un environnement
complet
de construction
de
solveurs multi-grilles performants
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Des solveurs fonctionnant à la vitesse optimale Quand les solveurs multi-niveaux furent découverts dans les années 1970, de nombreux experts refusèrent simplement de croire que le calcul était en O(N) ! Aujourd’hui, des centaines de publications scientifiques ont établi un riche environnement théorique et l’optimalité de ces solveurs est bien comprise. Etant des super-algorithmes, c’est à dire composés de sous-algorithmes complexes, les solveurs multi-niveaux sont non seulement les plus rapides et les plus adaptables mais aussi les plus compliqués de tous les types de solveurs linéaires. Atteindre la solution d’un problème de grande taille requiert beaucoup de puissance de calcul, avec une forte dépendance au problème et à sa mise en forme. Les configurations optimales de problèmes spécifiques sont rarement obtenues par analyse. La mise au point de solveurs multi-niveaux rapides repose donc sur l’expérimentation, ce qui exige de grandes qualités de souplesse d’utilisation de la part des fonctionnalités du logiciel. Un cadre de travail pour solveurs multi-grilles La « Multilevel Toolbox » de DIFFPACK est un environnement complet de construction de solveurs multi-grilles performants car dédiés. Sa conception ouverte permet les extensions à d’autres solveurs multi-niveaux comme, par exemple, ceux fondés les techniques de décomposition de domaines.
L’exemple suivant donne le nombre
d’itérations et le temps CPU pour la résolution de l’équation de Poisson
De la gauche vers la droite, les différents solveurs sont les gradients conjugués (GC) avec le pré-conditionneur RILU, GC avec le pré-conditionneur multi-grilles (MG) et un multi-grille seul. La configuration multi-grilles a été optimisée en utilisant la fonction « boucle multiple » (1) de DIFFPACK. Simple à utiliser Environ 10 lignes de code, voilà ce qui est nécessaire pour disposer, dans une application DIFFPACK existante, de l’ensemble des options multi-grilles de la boîte à outils. Quand vous convertissez votre programme en un code multi-grille, vous le munissez : - d’un maillage rudimentaire et des système linéaire et solveur associés, - d’une hiérarchie de maillage, - de solveurs linéaires pour le pré- et le post-lissage, - des opérateurs de transfert entre niveaux de maillage. Ces différents item peuvent être initialisés à partir d’un fichiers d’entrée ou à l’aide d’un menu à l’exécution. Facile à configurer Vous pouvez sélectionner des maillages structurés, ou non, dans des espaces à 1, 2 ou 3 dimensions. La gestion de la hiérarchie des maillages supporte des environnements multi-grilles imbriqués ou non. Vous pouvez choisir les pré- et post-lisseurs disponibles dans la librairie DIFFPACK ; vous pouvez tout aussi bien utiliser votre lisseur habituel. Vous avez la même liberté de choix quand vous gérez d’autres paramètres comme, par exemple, les projections, les résidus, les itérations de lissage, les « cycles V ou W », etc. A l’aide du menu système, vous pouvez définir des cas de calcul multiple, fonction de différents nombres d’itérations et « cycles V/W », pour optimiser les valeurs de ces paramètres pour un problème donné. Vous pouvez aussi utiliser les solveurs multi-grilles directement ou en tant que pré-conditionneurs pour d’autres solveurs itératifs comme, par exemple, les solveurs de Krylov qui sont inclus dans DIFFPACK. Pour l’industrie aussi bien que pour la recherche Evidemment, la « multilevel toolbox » offre des gains de temps considérables pour les applications industrielles à grande échelle. Mais, grâce à souplesse d’ utilisation, la « multilevel toolbox » est aussi le parfait environnement de laboratoire pour ceux qui s’intéressent principalement à la recherche.
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(1)Pour cet exemple particulier, la fonction boucle multiple de DIFFPACK a été utilisée pour tester : - les candidats comme pré- et post- lisseurs, - le nombre d’itérations pour les pré- et post- lisseurs, - les « cycles V ou W », - le solveur pour le maillage rudimentaire. L’étude de convergence a mis en évidence la sensibilité particulière des résultats au choix du lisseur.
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en utilisant des maillages structurés de tailles
différentes.
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Le
maillage adaptatif est
la garantie d’obtenir
une
solution de précision optimale,
pour
les moyens de
calcul disponibles
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Le maillage adaptatif, c’est plus de précision Pour la plupart des problèmes d’EDP, la précision de la solution dépend fortement de la taille mémoire de votre machine et du temps de calcul disponible. Un maillage adaptatif équilibrera vos calculs de façon à obtenir une meilleure précision, pour réduire le temps de calcul et la mémoire nécessaire. Et, de ce fait, vos programmes vous permettront de prendre de meilleure décision. Typiquement, la solution recherchée montre des singularités ou d’autres effets. Les régions critiques doivent être traitées avec un maillage fin tandis que les autres zones auront un maillage plus grossier. Pour les problèmes dépendants du temps, le maillage devra évoluer en fonction du temps, selon l’évolution de critères sensibles : gradients ou autres mesures. L’effet du maillage adaptatif peut être substantiel. Pour certains problèmes, il serait même impossible d’atteindre une solution significative sans lui. Une gestion souple, sans programmation supplémentaire En combinant la souplesse des Méthodes aux Eléments Finis de l’environnement DIFFPACK avec la puissance de la « Adaptivity Toolbox », vous obtenez une gestion fine des techniques de maillage adaptatif au service de la qualité de vos simulations. En ajoutant quelques instructions à un simulateur DIFFPACK, vous avez immédiatement accès à des stratégies d’amélioration du maillage, pour des maillages structurés ou non, dans des espaces à 1, 2 ou 3 dimensions. La stratégie d’amélioration est divisée en trois étapes : 1. donner un poids à chaque élément du maillage, 2. marquer les éléments cibles selon les valeurs de poids, 3. calcul du maillage amélioré. Un ensemble de fonctions d’assignation de poids est à votre disposition, basées sur les valeurs de champ ou les gradients par exemple. Vous pouvez aussi, facilement, définir vos propres fonctions de poids qui exploiteront au mieux les spécificités de votre problème. Pour le marquage, vous pouvez utiliser des comparaisons entre les valeurs absolues ou les valeurs relatives des poids parmi votre sélection de valeurs seuils. Pour les problèmes fonction du temps, vous pouvez choisir de démarrer une nouvelle amélioration à n’importe lequel des niveaux dans la hiérarchie des maillages.
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Cette boîte à outils vous permet
de charger dans DIFFPACK
les maillages standards de l’industrie
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